最小二乘法拟合变导程螺杆螺旋曲线 - 文章

最小二乘法拟合变导程螺杆螺旋曲线

作者：安徽机电学院余雷

摘要：根据变导程螺旋机构的运动原理的要求，以变导程螺旋传动作为引纬机构其剑头实现改进梯形加速度运动规律为例，采用最小二乘曲线拟合方法，分析得到与之对应的变导程螺旋机构中变导程螺杆螺旋曲线的变化规律。
关键词：变导程螺旋线；最小二乘法；曲线拟合

1概述

对于广泛应用的各种等螺距螺旋传动，由于其导程 H为定值，故直线运动和旋转运动，即位移S和转角θ成线性关系。显然，等螺距螺旋运动不能满足位移S按给定某种曲线规律变化的要求。采用变导程螺杆，改变传动曲线变得简单可靠。变导程螺旋机构可代替复杂的组合机构实现需要的运动规律，传动链短，具有较高的传动效率和高的传动精度。变导程螺旋传动能很好地满足直线移动产生变速回转运动的要求。意大利VAMATEX公司应用其变导程螺旋机构的专利技术，设计、生产的C401S等型号剑杆织机具有结构简单，良好的传动特性，国内很多企业引进了该产品。消化吸收变导程螺旋机构的应用成果，并推广使用，对改变国内产品中机械传动系统复杂、误差大、效率低，具有良好、广泛的应用前景。

2变导程螺旋运动规律

变导程螺旋线的形成，是某一点在一直线移动并平行于该直线的轴旋转所构成的合成运动中，移动速度向量v(t)和角速度向量w(t)的比值p=v(t)/w(t)是与时间有关的变参数，该点位于由直线旋转所形成的圆柱上的轨迹即为变导程圆柱螺旋线，变导程螺旋线所在的旋转半径为r的圆柱称为基圆柱，点绕基圆柱旋转的转角θ=ωt。它的方程为：

x=rcosθ
y=rsinθ
z=f(θ)

在C401S剑杆织机中采用变导程螺旋传动作为引纬机构来实现并保证各种纤维进行稳定、连续地引纬。这关键是变导程螺杆螺旋曲线的变化规律如何满足合理设置的剑头运动规律。

根据变导程螺旋引纬机构的运动原理的要求，以剑头实现改进梯形加速度运动规律为例，分析如何得到与之对应的变导程螺旋机构中变导程螺杆螺旋曲线的变化规律。

在引纬机构中，由曲柄滑块机构中的曲柄等速回转运动，通过滑块C的直线运动规律带动变导程螺杆变速转动，螺杆转动通过剑带轮使剑头实现已知的改进梯形加速度运动规律，如图1示。根据螺旋线的形成原理，得到变导程螺杆的转角与轴向移动的运动关系。曲柄回转一周，剑头完成引纬运动一个动程。对于给定的对心曲柄滑块机构，曲柄转角0°～180°，剑头从剑道最外端进入到布幅中央；曲柄转角180°～360°，剑头完成接纬，从布幅中央回到剑道最外端，在此曲柄滑块机构运动规律不再赘述。

图1变导程螺旋机构

由给定剑头为改进梯形加速度运动规律，得到它的运动线图S(φ)等，如图2示，设定变导程螺杆的转角为θ，剑带轮半径为R，由此可得剑头运动规律为S=Rθ。

图2改进梯形加速度运动规律

上述给定滑块位移Sc及剑头位移S与曲柄转角φ的关系能够确定出来，因此求出变导程螺旋线方程中的Sc=z=f(θ)这一项，即可得到满足给定运动规律的变导程螺旋线方程。

3最小二乘曲线拟合

变导程螺旋线的变化规律在于得出滑块位移Sc(=z)与螺杆转角θ的关系式。根据给定的剑头运动规律，为了得到符合剑头运动规律的变导程螺杆螺旋线方程，采用最小二乘曲线拟合的数学方法进行z=f(θ)曲线拟合。由上述关系式，由最小二乘曲线原理，在曲柄一个循环周期内，对于曲柄转角φ可得到相应的滑块位移Sc和变导程螺杆转角θ的数值。

设定它的拟合多项式为

给定已知条件：曲柄长度L1=100mm，连杆长度L2=360mm，曲柄角速度ω1=36rad/s，剑头最大动程Sm=1000mm，剑带轮半径 R=100mm，螺杆最大转角θ=Sm/R=10rad。其拟合数据，如表1示，得到最小二乘拟合结果，如表2示。

表1最小二乘法拟合数据

表2拟合多项式结果数据

表中：△T1——拟合多项式与数据点误差的平方和
△T2——拟合多项式与数据点误差的绝对值之和
△T3——拟合多项式与数据点误差绝对值的最大值

拟合多项式为：

4结论

根据最小二乘曲线拟合原理，拟合次数 m 选择是否恰当直接影响到拟合关系式的准确性和拟合精度，通过不断降低拟合多项式的次数，分析比较误差项，最后获得较为满意的拟合结果。由此我们获得变导程螺旋线的运动方程：

通过最小二乘曲线拟合，完全能够得到满足给定运动规律要求的变导程螺杆螺旋曲线的变化规律。

作者简介：
余雷，1964年出生，男，1996年3月毕业于中国纺织大学纺织机械专业，硕士学位，研究方向为机构设计及机械CAD，发表论文数篇。

参考文献
1李庆扬，王能超等.数值分析.第3版.武汉：华中工学院出版社，1986.12：101～109.
2沈国生，陈怀清等.C401S型剑杆织机.北京：纺织机械出版社，1993.8：13～15.
3余雷等.变导程螺旋引纬机构的研究.上海：中国纺织大学学报，1997, 23(3)：43～48.(end)

(投稿) (如果您是本文作者，请点击此处) (2007-1-7，阅读1935次)

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